Пропорції. Модуль дійсного числа

Пропорції

Пропорція [лат. proportio — частка] – рівність двох співвідношень, тобто рівність виду $$\frac{a}{b}=\frac{c}{d},$$ де $$a, d$$ – крайні члени, $$b, c$$ – середні члени пропорції.

Основні властивості пропорції:

  1. Добуток крайніх членів дорівнює добутку середніх членів пропорції:
    $$ad=bc.$$
  2. Перестановка членів пропорції:
    $$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}, \frac{d}{b}=\frac{c}{a}, \frac{a}{c}=\frac{b}{d}, \frac{d}{c}=\frac{b}{a}.$$
  3. Збільшення, зменшення, складання пропорції додаванням та відніманням:
    $$\frac{a\pm b}{a}=\frac{c\pm d}{c}, \frac{a\pm c}{b\pm d}=\frac{a}{b}=\frac{c}{d}.$$

Модуль

Модуль [абсолютна величина] дійсного числа $$a$$ – невід’ємне число, визначення якого залежить від типу цього числа $$a$$ і позначається $$|a|.$$

$$|a|=\left[\begin{matrix} a ,& a\geqslant 0\\ -a, & a<0 \end{matrix}\right.$$

З геометричного погляду модуль дійсного числа – відстань від початку відліку до точки, якій відповідає це число.

Отже, $$|a|\geqslant 0,$$ $$|a|= 0\Leftrightarrow a=0$$

Наслідки: $$|-a|= |a|, a\leqslant |a|, -a\leqslant|a|,-|a|\leqslant a,-|a|\leqslant a \leqslant |a|.$$

Властивості модуля:

1. $$|a\cdot b|=|a|\cdot|b|$$

2. $$\left |\frac{a}{b} \right |=\frac{|a|}{|b|}, b\neq 0$$

3. $$|a+b|\leqslant |a|+|b|$$

4. $$|a-b|\leqslant |a|+|b|$$

5. $$|a|-|b|\leqslant |a+b|$$

6. $$|a+b|\geqslant \left | |a|-|b| \right |$$

7. $$|a-b|\geqslant \left | |a|-|b| \right |$$