Визначення
Похідною функції $$y=f(x)$$ у точці $$x$$ називається границя (ліміт) відношення збільшення функції $$\Delta y$$ до приросту $$\Delta x$$ аргументу $$x,$$ коли приріст аргументу прагне до нуля.
$$y^{\prime}=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}$$
Основні правила диференціювання
- Похідна від алгебраїчної суми функцій є алгебраїчна сума похідних:
$$\left ( f(x)\pm g(x)\pm h(x) \right )^{\prime}=f'(x)\pm g^{\prime}(x)\pm h^{\prime}(x).$$ - Похідна від добутку двох функцій є добуток похідної першої функції на другу функцію плюс добуток першої функції на похідну другої функції:
$$(u\cdot v)^{\prime}=u^{\prime}\cdot v+u\cdot v^{\prime},\;u=u(x),\;v=v(x).$$ - Постійне число (константу) можна винести за знак похідної:
$$\left ( c f(x) \right )^{\prime}=cf^{\prime}(x),\;c=const.$$ - Похідна від дробу двох функцій є новий дріб, в чисельнику якого добуток похідної старого чисельника на старий знаменник мінус добуток старого чисельника на похідну старого знаменника, а в знаменнику нового дробу знаменник старого дробу у квадраті:
$$\left ( \frac{u}{v} \right )^{\prime}=\frac{u^{\prime}\cdot v-u\cdot v^{\prime}}{v^2},\;u=u(x),\;v=v(x)\neq0.$$
Таблиця похідних
| Функція $$y$$ | Похідна $$y^{\prime}$$ |
| $$c=const$$ | 0 |
| $$x^n$$ | $$nx^{n-1},\;n\in \mathbb{R}$$ |
| $$a^x$$ | $$a^x\ln a,\;a>0,\;a\neq1$$ |
| $$e^x$$ | $$e^x$$ |
| $$\log_a x$$ | $$\frac{1}{x\ln a},\;a>0,\;a\neq1$$ |
| $$\ln x$$ | $$\frac{1}{x}$$ |
| $$\sin x$$ | $$\cos x$$ |
| $$\cos x$$ | $$-\sin x$$ |
| $$\text{tg}\, x$$ | $$\frac{1}{\cos^2x}$$ |
| $$\text{ctg}\, x$$ | $$-\frac{1}{\sin^2x}$$ |
| $$\arcsin x$$ | $$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$ |
| $$\arccos x$$ | $$-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$ |
| $$\text{arctg}\, x$$ | $$\frac{1}{1+x^2}$$ |
| $$\text{arcctg}\, x$$ | $$-\frac{1}{1+x^2}$$ |
Геометричний зміст похідної
Для будь-яких двох точок $$A(x_0;f(x_0))$$ та $$B(x_0+\Delta x;f(x_0+\Delta x))$$ графіка функції $$y=f(x)$$ відбувається: $$\text{tg}\,\alpha=\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x},$$ де $$\alpha$$ – кут нахилу січної AB.
Таким чином, різницеве відношення дорівнює кутовому коефіцієнту січною. Якщо зафіксувати точку A і рухати у напрямку до неї точку B, то $$\Delta x$$ необмежено зменшується і наближається до 0, а січна АВ наближається до дотичної АС. Отже, границя різницевого відношення дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної в точці A.
Похідна $$f^{\prime}(x_0)$$ функції $$y=f(x)$$ в точці $$x_0$$ дорівнює кутовому коефіцієнту (тангенсу кута нахилу) дотичної до графіка функції в цій точці.
Рівняння дотичної до графіка диференційованої функції
$$y-f(x_0)=f^{\prime}(x_0)(x-x_0)$$
Фізичний зміст похідної
Нехай матеріальна точка рухається по координатній прямій, підкоряючись закону $$x=x(t),$$ тобто координата цієї точки $$x$$ – відома функція часу $$t.$$
Фізичний зміст похідної полягає в тому, що похідна від координати за часом є миттєва швидкість: $$v(t)=x^{\prime}_t$$