Визначення

Складна функція – це функція (зовнішня функція), аргументом якої є інша функція (внутрішня функція).

Суворе визначення

Нехай функція $$x=\phi(t)$$ визначена на множині $$T$$ та $$X$$ – це множина значень даної функції.

Нехай множина $$X$$ є областю визначення функції $$y=f(x).$$

Поставимо у відповідність кожному $$t\in T$$ число $$f[\phi(t)].$$

Тим самим на множині $$T$$ буде задана функція $$y=f[\phi(t)].$$ Її називають складною функцією або композицією (суперпозицією) функцій.

Тут $$y=f(x)$$ – зовнішня функція, а $$x=\phi(t)$$ – внутрішня функція.

Теорема

Якщо функція $$x=\phi(t)$$ має похідну в точці $$t\in T,$$ а функція $$y=f(x)$$ має похідну в точці $$x\in X,$$ то складна функція $$y=f[\phi(t)]$$ має похідну (по $$t$$) в точці $$t$$ і справедлива рівність:

$$y^{\prime}_t=y^{\prime}_x x^{\prime}_t=f'(x)\phi^{\prime}(t).$$

Знаходження похідної складної функції можна порівняти з витягом матрьошок. Спочатку знаходиться похідна зовнішньої функції (відкривається велика матрьошка). Вона множиться на похідну більш внутрішньої функції (матрьошка трохи менше), яка, своєю чергою, множиться на похідну ще більш внутрішньої функції (ще менша матрьошка) і так далі (найменша матрьошка).

При знаходженні похідних функцій, що входять в складну функцію, користуються правилами диференціювання і таблицею похідних.

Розглянемо знаходження похідної суперпозиції функцій (складної функції) на прикладах.

Приклади

1. Знайти похідну складної функції $$y=\arccos(\ln\sqrt{1+x^2}).$$

$$\arccos$$ – зовнішня функція;

$$\ln$$ – більш внутрішня функція;

$$\sqrt{}$$ – ще більш внутрішня функція;

$$1+x^2$$ – сама внутрішня функція.

$$y^{\prime}=-\frac{1}{\sqrt{1-\ln^2\sqrt{1+x^2}}}\cdot\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\cdot\frac{1}{2\sqrt{1+x^2}}\cdot2x$$

Після елементарних перетворень одержимо

$$y^{\prime}=-\frac{2x}{(1+x^2)\sqrt{4-\ln^2(1+x^2)}}$$

2. Знайти похідну складної функції $$y=x[\sin(\ln x)-\cos(\ln x)]$$

$$\sin,\;\cos$$ – зовнішні функції;

$$\ln$$ – внутрішня функція.

$$y^{\prime}=x^{\prime}\cdot[\sin(\ln x)-\cos(\ln x)]+x\cdot[\sin(\ln x)-\cos(\ln x)]^{\prime}=$$

$$=\sin(\ln x)-\cos(\ln x)+x\cdot\left [\cos(\ln x)\cdot\frac{1}{x}-(-\sin(\ln x))\cdot\frac{1}{x} \right ]=$$

$$=\sin(\ln x)-\cos(\ln x)+\cos(\ln x)+\sin(\ln x)=2\sin(\ln x)$$