Парність, непарність та періодичність тригонометричних функцій

Парність та непарність тригонометричних функцій

Парною називається функція, яка не змінює свого значення при зміні знака незалежної змінної (графік такої функції симетричний щодо осі ординат): $$f(-x)=f(x).$$

Непарною називається функція, яка змінює своє значення при зміні знака незалежної змінної (графік такої функції симетричний щодо початку координат): $$f(-x)=-f(x).$$

Індиферентною називається функція, яка не має симетрії.

Синус

$$\sin x$$ – непарна функція

$$\sin (-x)=-\sin x$$

Косинус

$$\cos x$$ – парна функція

$$\cos (-x)=\cos x$$

Тангенс

$$\text{tg}x$$ – непарна функція

$$\text{tg}(-x)=-\text{tg}x$$

Котангенс

$$\text{ctg}x$$ – непарна функція

$$\text{ctg}(-x)=-\text{ctg}x$$

Періодичність тригонометричних функцій

Періодичною називається функція, яка повторює свої значення через якийсь регулярний інтервал, тобто не змінює свого значення при додаванні до аргументу фіксованого ненульового числа (періоду функції): існує таке ненульове число $$T$$ (період), що у всій області визначення функції виконується рівність $$f(x)=f(x+T).$$

Тригонометричні функції (синус, косинус, тангенс, котангенс) є періодичними.

$$\sin x,\;\cos x$$ – періодичні функції з найменшим позитивним періодом $$2\pi$$:

$$\sin(x+2k\pi)=\sin x,\;\cos(x+2k\pi)=\cos x,\;k\in\mathbb{Z}.$$

$$\text{tg}x,\;\text{ctg}x$$ – періодичні функції з найменшим позитивним періодом $$\pi$$:

$$\text{tg}(x+k\pi)=\text{tg}x,\;\text{ctg}(x+k\pi)=\text{ctg}x,\;k\in\mathbb{Z}.$$