Завдання
Знайти другу похідну від $$\frac{\sqrt{x}}{x^2+4}$$
Рішення
Повторіть основні правила диференціювання
Спочатку знайдемо першу похідну, користуючись формулою похідної дробового виразу
$$(\frac{\sqrt{x}}{x^2+4})^{\prime}=\frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}\cdot(x^2+4)-\sqrt{x}\cdot 2x}{(x^2+4)^2}=\frac{x^2+4-4x^2}{2\sqrt{x}(x^2+4)^2}=\frac{-3x^2+4}{2\sqrt{x}(x^2+4)^2}$$
Тепер знайдемо другу похідну вихідного виразу (похідну від першої похідної), користуючись формулами похідної дробу, добутку та похідної складної функції
$$(\frac{-3x^2+4}{2\sqrt{x}(x^2+4)^2})^{\prime}=\frac{-6x\cdot2\sqrt{x}(x^2+4)^2-(-3x^2+4)\cdot[\frac{(x^2+4)^2}{\sqrt{x}}+2\sqrt{x}\cdot2(x^2+4)\cdot2x]}{4x(x^2+4)^4}=$$
$$=\frac{-12x\sqrt{x}(x^2+4)^2-(-3x^2+4)\cdot\frac{(x^2+4)^2+8x^2(x^2+4)}{\sqrt{x}}}{4x(x^2+4)^4}=$$
$$=\frac{-12x^2(x^2+4)^2-(-3x^2+4)(x^2+4)(x^2+4+8x^2)}{4x\sqrt{x}(x^2+4)^4}=$$
$$=\frac{-12x^2(x^2+4)+(4-3x^2)(9x^2+4)}{4x\sqrt{x}(x^2+4)^3}=$$
$$=\frac{-12x^4-48x^2+27x^4+12x^2-36x^2-16}{4x\sqrt{x}(x^2+4)^3}=$$
$$=\frac{15x^4-72x^2-16}{4x\sqrt{x}(x^2+4)^3}$$