Онлайн тест на прогресії

$$d=a_2-a_1=a_3-a_2=5.5-3=2.5$$

$$a_{n}=a_1+d(n-1)\Rightarrow a_{31}=3+2.5(31-1)=78$$

$$a_{50}=3+49d,\; a_{75}=3+74d$$

$$a_{75}=299\Rightarrow d=\frac{299-3}{74}\Rightarrow a_{50}=3+49\cdot\frac{299-3}{74}=199$$

$$n=14,\; d=2,\; a_{14}=29$$

$$a_{14}=a_1+13d$$

$$a_{1}=a_{14}-13d=29-13\cdot2=3$$

$$S_{n}=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n\Rightarrow S_{30}=\frac{-12+75}{2}\cdot30=945$$

$$a_3=a_1+2d=11,\; a_7=a_1+6d=23$$

$$\left\{\begin{matrix} a_1+2d=11&(1)\\ a_1+6d=23&(2) \end{matrix}\right.$$

(2) – (1):

$$4d=12\Rightarrow d=3$$

(2)-3(1):

$$-2a_1=-10\Rightarrow a_1=5$$

$$S_{n}=\frac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n$$

$$S_{10}=\frac{2\cdot5+3(10-1)}{2}\cdot 10=185$$

$$b_1=3,\; q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{b_3}{b_2}=-\frac{1}{2}$$

$$S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{3}{1-(-\frac{1}{2})}=2$$

$$21^{-1}+21^{-2}+21^{-3}+…=\frac{\frac{1}{21}}{1-\frac{1}{21}}=\frac{1}{20}=0.05$$

$$a_1=40,\; d=1,\; n=161\Rightarrow S=\frac{40+200}{2}\cdot161=120\cdot161=19320$$

$$b_1=1,\; q=-a,\;S_{10}=\frac{b_1(q^{10}-1)}{q-1}$$

$$1-a+a^2-a^3+a^4-a^5+a^6-a^7+a^8-a^9=\frac{1((-a)^{10}-1)}{-a-1}=\frac{1-a^{10}}{a+1}$$

3 – початкова кількість;

$$12=3\cdot2=3\cdot2^1$$ – кількість після 1-го поділу;

$$12=3\cdot4=3\cdot2^2$$ – кількість після 2-го поділу;

$$24=3\cdot8=3\cdot2^3$$ – кількість після 3-го поділу;

…

$$3\cdot2^n$$ – кількість після n-го поділу.

Арифметична прогресія; $$S_n=\frac{n^2+13n}{2}$$

Не прогресія; $$S_n=3n+2$$

Геометрична прогресія $$(|q|>1);$$ $$a_n=2^n$$

Нескінчена геометрична прогресія $$(|q|<1);$$ $$S=\frac{a_1}{1-q}$$

$$b_1=-2;\; b_4=-54;$$ $$q=3$$

$$b_2=-6;\; b_5=162;$$ $$q=-3$$

$$b_1=32;\; b_4=4;$$ $$q=0.5$$

$$b_3=-24;\; b_6=3;$$ $$q=-0.5$$

$$1+a^2+a^4+a^6+a^8+a^{10},$$ де $$a\neq1;$$ $$S_6=\frac{1-a^{12}}{1-a^2},\;b_1=1,\; q=a^2$$

$$1-a+a^2-a^3+a^4-a^5+a^6,$$ де $$a\neq1;$$ $$S_7=\frac{a^7+1}{a+1},\;b_1=1,\; q=-a$$

$$a^2+a^4+a^6+a^8+a^{10}+a^{12},$$ де $$a\neq1;$$ $$S_6=\frac{a^{14}-a^2}{a^2-1},\;b_1=a^2,\; q=a^2$$

$$a-a^2+a^3-a^4+a^5-a^6,$$ де $$a\neq-1;$$ $$S_6=\frac{a-a^7}{a+1},\;b_1=a,\; q=-a$$

$$\frac{101}{7}=14\frac{3}{7}\Rightarrow a_{16}=a_1+15d=101-15\cdot7=101-105=-4$$

3; 4; 5; 6… – арифметична прогресія.
$$\frac{155}{8}=19\frac{3}{8};\;S_{10}=\frac{2\cdot3+1\cdot(10-1)}{2}\cdot10=75;\; 8\cdot10=80;\; 75+80=155$$
$$t=10$$

$$\frac{100}{7}=14\frac{2}{7}\Rightarrow 7\cdot15=105$$

$$\frac{999}{7}=142\frac{5}{7}\Rightarrow 7\cdot142=994$$

105; 112; … ; 994 – арифметична прогресія

$$a_1=105;\;d=7;\; \frac{994-105}{7}=127;\;a_{128}=994$$

$$S_{128}=\frac{105+994}{2}\cdot128=1099\cdot64=70336\Rightarrow \frac{S}{100}=703.36$$

$$b_1=1000$$ – початковий об’єм
$$b_2=b_1-0.1b_1=0.9b_1=0.9\cdot1000=900$$ – об’єм після першого руху поршня
$$b_3=b_2-0.1b_2=0.9b_2=(0.9)^2b_1=0.81\cdot1000=810$$ – об’єм після другого руху поршня
…
$$b_6=(0.9)^5b_1=0.59049\cdot1000=590.49$$ – об’єм після п’ятого руху поршня

$$3;\; 1;\; \frac{1}{3};\; \frac{1}{9}; \;\frac{1}{27};…$$ – вихідна н.с.г.п.
$$3;\; \frac{1}{3};\;\;\frac{1}{27};…$$ – н.с.г.п. з непарними номерами
$$b_1=3;\; q=\frac{1}{9}$$
$$S=\frac{3}{1-\frac{1}{9}}=\frac{27}{8}=3\frac{3}{8}=3.375$$

$$y=x^4+\frac{x^4}{1+x^4}+\frac{x^4}{\left (1+x^4 \right )^2}+\frac{x^4}{\left (1+x^4 \right )^3}+…=x^4\left (1+\frac{1}{1+x^4}+\frac{1}{\left (1+x^4 \right )^2}+\frac{1}{\left (1+x^4 \right )^3}+… \right )$$
$$x^4\left (1+\frac{1}{1+x^4}+\frac{1}{\left (1+x^4 \right )^2}+\frac{1}{\left (1+x^4 \right )^3}+… \right )=x^4\cdot\frac{1}{1-\frac{1}{1+x^4}}=\frac{x^4(1+x^4)}{1+x^4-1}=$$
$$=x^4+1$$
$$y(3)=3^4+1=82$$

$$b_1=m;\; b_2=n;\; b_3=p$$ – геометрична прогресія
$$a_1=m+n;\; a_2=n+p;\; a_3=p+m$$ – арифметична прогресія
$$b_2=b_1q=mq=n;\;b_3=b_1q^2=mq^2=p$$
$$\left\{\begin{matrix} mq=n\\ mq^2=p \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} q=\frac{n}{m}\\ q^2=\frac{p}{m} \end{matrix}\right.$$
$$a_2-a_1=a_3-a_2\Rightarrow n+p-(m+n)=p+m-(n+p)\Rightarrow p-m=m-n$$
$$n=2m-p$$
$$\left\{\begin{matrix} q&=&\frac{2m-p}{m}&=&2-\frac{p}{m}\\\\q^2&=&\frac{p}{m} \end{matrix}\right.$$
$$q=2-q^2\Rightarrow q^2+q-2=0$$
$$q\neq1$$ (за умовою)
$$q=-2$$ (за теоремою Вієта)