Завдання 1
Скласти рівняння площини, яка проходить через точку М(5; 4; 3) і відсікає рівні відрізки на осях координат.
Рішення
Запишемо рівняння площини у відрізках на осях, у якому $$a=b=c$$
$$\frac{x}{a}+\frac{y}{a}+\frac{z}{a}=1\Rightarrow x+y+z=a$$
Координати точки М повинні задовольняти рівняння шуканої площини, тому має виконуватися рівність $$5+4+3=a\Rightarrow a=12$$.
Значить рівняння шуканої площини має вигляд
$$x+y+z-12=0$$.
Відповідь: $$x+y+z-12=0$$.
Завдання 2
Скласти рівняння площини, що проходить через лінію перетину $$x+y+5z-1=0,$$ $$2x+3y-z+2=0$$ і через точку М(3; 2; 1).
Рішення
Використовуємо рівняння пучка площин
$$x+y+5z-1+\lambda(2x+3y-z+2)=0$$
Підставимо координати точки М і знайдемо $$\lambda$$
$$3+2+5-1+\lambda(6+6-1+2)=0\Rightarrow \lambda=-\frac{9}{13}$$
Рівняння площини має вигляд
$$x+y+5z-1-\frac{9}{13}(2x+3y-z+2)=0$$
Або після множення на 13 і приведення подібних членів отримаємо
$$-5x-14y+74z-31=0$$
$$5x+14y-74z+31=0$$
Відповідь: $$5x+14y-74z+31=0$$.
Завдання 3
Скласти рівняння площини, що проходить через точку М(2; 3; 5) і перпендикулярною вектору $$\vec{N}(4;3;2)$$.
Рішення
Використовуємо формулу для площини, що проходить через точку перпендикулярно вектору
$$4(x-2)+3(y-3)+2(z-5)=0$$
Або, після перетворень
$$4x+3y+2z-27=0$$
Відповідь: $$4x+3y+2z-27=0$$.