Взаємне розташування двох прямих у просторі

Розглянемо деякі співвідношення, які виражають особливості взаємного розташування двох просторових прямих

$$\frac{x-x_1}{l_1}=\frac{y-y_1}{m_1}=\frac{z-z_1}{n_1}$$ та $$\frac{x-x_2}{l_2}=\frac{y-y_2}{m_2}=\frac{z-z_2}{n_2}$$:

1. якщо кут між двома прямими дорівнює $$\phi$$, то

$$\cos\phi=\frac{l_1l_2+m_1m_2+n_1n_2}{\sqrt{l_1^2+m_1^2+n_1^2}\sqrt{l_2^2+m_2^2+n_2^2}}$$;

2. якщо прямі паралельні, то

$$\frac{l_1}{l_2}=\frac{m_1}{m_2}=\frac{n_1}{n_2}$$;

3. якщо прямі перпендикулярні, то

$$l_1l_2+m_1m_2+n_1n_2=0$$;

4. якщо дві прямі знаходяться в одній тій же площині (компланарні), то

$$D=\begin{vmatrix} x_2-x_1 y_2-y_1 z_2-z_1\\ l_1 m_1 n_1\\ l_2 m_2 n_2 \end{vmatrix}=0$$;

якщо при цьому

$$\vec{S_1}\parallel \vec{S_2}\;\left ( \frac{l_1}{l_2}\neq\frac{m_1}{m_2}\neq\frac{n_1}{n_2} \right )$$,

то прямі, залишаючись компланарними, перетинаються;

5. якщо $$D\neq0$$ ($$\overrightarrow{M_1M_2},\,\vec{S_1},\,\vec{S_2}$$ – некомпланарні), то прямі мимобіжні;

6. якщо прямі зливаються (збігаються), то

$$\overrightarrow{M_1M_2}\parallel\vec{S_1},\;\overrightarrow{M_1M_2}\parallel\vec{S_2}.$$