Завдання
Спростити вираз $$\frac{x^3y-xy^3+y^3z-yz^3+z^3x-zx^3}{x^2y-xy^2+y^2z-yz^2+z^2x-zx^2}$$ і знайти його значення, якщо $$x=1,$$ $$y=0.1,$$ $$z=0.01.$$
Рішення
Перетворення чисельника
Розглянемо чисельник дробу $$x^3y-xy^3+y^3z-yz^3+z^3x-zx^3$$
Перетворимо його. Спочатку впорядкуємо многочлен за ступенями змінної $$x$$
$$x^3y-xy^3+y^3z-yz^3+z^3x-zx^3=x^3y-zx^3-xy^3+z^3x+y^3z-yz^3=$$
Винесемо спільні множники за дужки
$$=x^3(y-z)-x(y^3-z^3)+yz(y^2-z^2)=$$
Скористаємося формулами різниці кубів і різниці квадратів
$$=x^3(y-z)-x(y-z)(y^2+z^2+yz)+yz(y-z)(y+z)=$$
Винесемо спільний множник за дужки
$$=(y-z)[x^3-x(y^2+z^2+yz)+yz(y+z)]=$$
$$=(y-z)[x^3-xy^2-xz^2-xyz+y^2z+yz^2]=$$
У другій дужці впорядкуємо за ступенями змінної $$y$$
$$=(y-z)[y^2z-xy^2+yz^2-xyz+x^3-xz^2]=$$
Винесемо спільні множники у квадратних дужках
$$=(y-z)[y^2(z-x)+yz(z-x)-x(z^2-x^2)]=$$
Скористаємося формулою різниці квадратів і винесемо спільні множники за дужки
$$=(y-z)(z-x)[y^2+yz-x(z+x)]=$$
$$=(y-z)(z-x)[y^2+yz-xz-x^2]=$$
Перегрупуємо одночлени у квадратних дужках
$$=(y-z)(z-x)[y^2-x^2+yz-xz]=$$
Скористаємося формулою різниці квадратів і винесемо спільні множники за дужки
$$=(y-z)(z-x)[(y-x)(y+x)+z(y-x)]=(y-z)(z-x)(y-x)(x+y+z)$$
Перетворення знаменника
Тепер перетворимо знаменник дробу $$x^2y-xy^2+y^2z-yz^2+z^2x-zx^2.$$ Для цього додамо і віднімемо одночлен $$xyz.$$
$$x^2y-xy^2+y^2z-xyz+xyz-yz^2+z^2x-zx^2=$$
$$=(x^2y-xy^2+y^2z-xyz)+(xyz-yz^2+z^2x-zx^2)=$$
Винесемо спільні множники за дужки
$$y(x^2-xy+yz-xz)-z(-xy+yz-zx+x^2)=$$
Очевидно, у дужках однакові поліноми. Винесемо їх за дужки
$$(x^2-xy+yz-xz)(y-z)=$$
Згрупуємо і винесемо спільні множники за дужки
$$[x(x-y)-z(x-y)](y-z)=(x-y)(x-z)(y-z)$$
Спрощення дробу та знаходження значення виразу
Отже, після перетворення чисельника і знаменника дробу, отримаємо
$$\frac{(y-z)(z-x)(y-x)(x+y+z)}{(x-y)(x-z)(y-z)}=\frac{(x-y)(x-z)(y-z)(x+y+z)}{(x-y)(x-z)(y-z)}=(x+y+z)$$
Підставимо значення змінних і отримаємо
$$1+0.1+0.01=1.11$$
Відповідь: $$1.11$$