Завдання. Знайти найбільше та найменше значення функції на відрізку

Завдання

Знайти найбільше та найменше значення функції $$f(x)=-8x^6+9x^4-2x^2-3$$ на відрізку $$[-3;3]$$

Рішення

Область визначення функції: $$D(f)=\mathbb{R}\supset [-3;3]$$

Похідна функції: $${f}'(x)=-48x^5+36x^3-4x$$

Розв’язання рівняння: $$-48x^5+36x^3-4x=0$$

$$-4x(12x^4-9x^2+1)=0$$

$$x=0,\;12x^4-9x^2+1=0\;(D=81-48=33)$$

$$x = 0,\; x = \pm\frac{1}{12}\sqrt{54-6\sqrt{33}}, \;x = \pm\frac{1}{12}\sqrt{54+6\sqrt{33}}$$

Значення функції (у нашому випадку функція є парною) у точках, де похідна дорівнює нулю та на кінцях відрізка $$[-3;3]:$$

$$f(\pm3)=-5124,\;f(0)=-3,$$

$$f\left (\pm\frac{1}{12}\sqrt{54-6\sqrt{33}} \right )\approx -3.125660379, \;f\left (\pm\frac{1}{12}\sqrt{54+6\sqrt{33}} \right )\approx -2.686839620$$

$${max}_{[-3;3]}f(x)=f\left (\pm\frac{1}{12}\sqrt{54+6\sqrt{33}} \right )\approx -2.686839620$$

$${min}_{[-3;3]}f(x)=f(\pm3)=-5124$$