Означення

Неявна функція визначається співвідношенням $$F(x;y)=0,$$ де $$y=f(x).$$

Алгоритм для знаходження похідної неявної функції

Для знаходження похідної неявної функції необхідно продиференціювати обидві частини рівняння, розглядаючи $$y,$$ як функцію від змінної $$x$$, а потім, отримане для $$y^{\prime}$$ рівняння, вирішити щодо $$y^{\prime}$$.

Диференціювання неявних функцій проводиться з використанням правил диференціювання та правила знаходження похідної складної функції.

Приклади

Приклад 1

$$x^2-\ln y +\sqrt{xy}=0$$

Продиференціюємо обидві частини рівняння

$$2x-\frac{1}{y}\cdot y^{\prime}+\frac{1}{2\sqrt{xy}}\cdot(y+xy^{\prime})=0$$

Знайдемо $$y^{\prime}$$

$$y^{\prime}\left ( \frac{x}{2\sqrt{xy}}-\frac{1}{y} \right )=-2x-\frac{y}{2\sqrt{xy}}$$

$$y^{\prime}=-\frac{2x+\frac{y}{2\sqrt{xy}}}{\frac{x}{2\sqrt{xy}}-\frac{1}{y}}$$

$$y^{\prime}=\frac{4x\sqrt{xy}+y}{2\sqrt{x}-x\sqrt{y}}$$

Приклад 2

$$x\sin y-y\cos x=0$$

Продиференціюємо обидві частини рівняння

$$\sin y+x\cos y\cdot y^{\prime}-y^{\prime}\cos x+y\sin x=0$$

Знайдемо $$y^{\prime}$$

$$y^{\prime}=\frac{\sin y+y\sin x}{\cos x-x\cos y}$$

Приклад 3

$$e^x+e^{-y}+xy=0$$

Продиференціюємо обидві частини рівняння

$$e^x-e^{-y}\cdot y^{\prime}+y+xy^{\prime}=0$$

Знайдемо $$y^{\prime}$$

$$y^{\prime}=\frac{e^x+y}{e^{-y}-x}$$

Приклад 4

$$\ln y=\arcsin\frac{x}{y}$$

Продиференціюємо обидві частини рівняння

$$\frac{1}{y}\cdot y^{\prime}=\frac{1}{\sqrt{1-\left ( \frac{x}{y} \right )^2}}\cdot\frac{y-xy^{\prime}}{y^2}$$

Знайдемо $$y^{\prime}$$

$$y^{\prime}\left ( \frac{1}{y}+\frac{x}{y\sqrt{y^2-x^2}} \right )=\frac{1}{\sqrt{y^2-x^2}}$$

$$y^{\prime}\left ( \frac{\sqrt{y^2-x^2}+x}{y\sqrt{y^2-x^2}} \right )=\frac{1}{\sqrt{y^2-x^2}}$$

$$y^{\prime}=\frac{y}{\sqrt{y^2-x^2}+x}$$