Завдання. Рівняння лінії другого порядку привести до найпростішого виду

Завдання

Рівняння лінії другого порядку $$x^2-y^2-4x+2y+7=0$$ привести до найпростішого виду.

Розв’язування

Після згрупування членів, які містять лише $$x$$ і $$y$$, доповнення до повних квадратів знайдемо $$(x-2)^2-(y-1)^2+4=0$$.

Потім позначаємо

$$\left\{\begin{matrix} x^{\prime} = x – 2\\ y^{\prime} = y – 1 \end{matrix}\right.$$

або

$$\left\{\begin{matrix} x = x^{\prime} + 2\\ y = y^{\prime} + 1 \end{matrix}\right.$$

Геометрично це означає, що ми повинні зробити паралельний переніс початку координат в точку $$O^{\prime}(2;1)$$. Після операції перенесення отримаємо

$${x^{\prime}}^2-{y^{\prime}}^2+4=0$$

або

$$\frac{{x^{\prime}}^2}{4}-\frac{{y^{\prime}}^2}{4}=-1$$.

Це рівняння гіперболи, центр якої розташований в точці $$O^{\prime}(2;1)$$. Оскільки півосі дорівнюють $$a=b=2$$, то це рівностороння гіпербола, дійсна (фокальна) вісь якої направлена по $$O^{\prime}y^{\prime}$$. На ній розташовані фокуси $$F_1$$ і $$F_2$$ на віддалі $$c=\sqrt{a^2+b^2}=2\sqrt{2}$$ від центра $$O^{\prime}$$. Значить, нові координати фокусів $$x^{\prime}=0,\; y^{\prime}=\pm2\sqrt{2}$$. На основі формул паралельного перенесення запишемо старі координати фокусів: $$F_1(2;1-2\sqrt{2}),\;F_2(2;1+2\sqrt{2}).$$

Виконаємо рисунок цієї гіперболи