Три завдання на складання рівняння площини

Завдання 1

Скласти рівняння площини, яка проходить через точку М(5; 4; 3) і відсікає рівні відрізки на осях координат.

Рішення

Запишемо рівняння площини у відрізках на осях, у якому $$a=b=c$$

$$\frac{x}{a}+\frac{y}{a}+\frac{z}{a}=1\Rightarrow x+y+z=a$$

Координати точки М повинні задовольняти рівняння шуканої площини, тому має виконуватися рівність $$5+4+3=a\Rightarrow a=12$$.

Значить рівняння шуканої площини має вигляд

$$x+y+z-12=0$$.

Відповідь: $$x+y+z-12=0$$.

Завдання 2

Скласти рівняння площини, що проходить через лінію перетину $$x+y+5z-1=0,$$ $$2x+3y-z+2=0$$ і через точку М(3; 2; 1).

Рішення

Використовуємо рівняння пучка площин

$$x+y+5z-1+\lambda(2x+3y-z+2)=0$$

Підставимо координати точки М і знайдемо $$\lambda$$

$$3+2+5-1+\lambda(6+6-1+2)=0\Rightarrow \lambda=-\frac{9}{13}$$

Рівняння площини має вигляд

$$x+y+5z-1-\frac{9}{13}(2x+3y-z+2)=0$$

Або після множення на 13 і приведення подібних членів отримаємо

$$-5x-14y+74z-31=0$$

$$5x+14y-74z+31=0$$

Відповідь: $$5x+14y-74z+31=0$$.

Завдання 3

Скласти рівняння площини, що проходить через точку М(2; 3; 5) і перпендикулярною вектору $$\vec{N}(4;3;2)$$.

Рішення

Використовуємо формулу для площини, що проходить через точку перпендикулярно вектору

$$4(x-2)+3(y-3)+2(z-5)=0$$

Або, після перетворень

$$4x+3y+2z-27=0$$

Відповідь: $$4x+3y+2z-27=0$$.